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高三数学复习需掌握五种互化提升综合能力

2010-11-05

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高三数学复习在经过第一学期地毯式的基础复习后，第二学期将转入专题和综合复习,以提升学生综合能力。分析近几年上海点击查看上海及更多城市天气预报考题可以看出：五种互化能力的考查是每年的重点。现将五种互化方法介绍如下：

量的变与不变

常量和变量的定义：我们在观察某一现象的过程时，常常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不起变化，我们把其称之为常量；有的量在过程中是变化的，也就是可以取不同的数值，我们则把其称之为变量。

在数学里常量与变量是一对矛盾,变量反映的是一个过程,而常量就是变量在某一时刻的值.研究问题时,变量有时“受制”，常量有时“不常”，即使是“常值”，也可能需要讨论其取不同值的情况下，所引起的不同变化，如我们熟悉的指数函数与对数函数的底数.不要把常量看死,而把它看作变量,放在一个过程中研究,往往会得到巧妙的方法.

有关量的“变”与“不变”辨证关系的考查，理科试卷近年来多有涉及。如04年22(3)，06年文22题，06年理16题，07年20(3)等。

整体与部分

解数学问题时，人们常习惯于把它分成若干个简单的问题，然后在各个击破，分而治之。有时，研究问题若能有意识地放大考察问题的“视角”，将需要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构，并注意已知条件及待求结论在这个“整体”中的地位和作用，然后通过对整体结构的调节和转化使问题获解。

例如化整为零。分类讨论是化整为零的最典型代表。07年高考(Q吧)突出了这一思想的考察，如19(1)题设计了对a的讨论，考查学生通过主动分类，从定义出发证明函数的奇偶性。20(3)题设计了数列的项数为动态情况下的求和问题，由于项数不同数列的对称情况也不同，考查学生在在动态情况下，是否能把我数列的本质，和是否有清楚的分类意识。21(3)设计了考生在探索研究的过程中，是否能挖掘出潜在的分类要求。

代数与几何

代数与几何的互化就是把抽象的数学语言与直观的陪衬图形有机地结合起来思考，促使抽象思维与形象的和谐复合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决。

纵观几年来的高考试题，以“数形结合的巧妙运用”解决的问题屡屡皆是。

数学解题中的数形结合，具体地说，就是在对题目中的条件和结论既分析其代数含义又分析其几何含义，力图在代数与几何的结合上去找出解题思路。这是一个极富数学特色的信息转换。

进行数形结合有三个主要途径：(1)通过坐标系。(2)转化。(3)构造。比如构造一个几何图形，构造一个函数等。

函数、方程、不等式

函数和方程是密切相关的，对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看做二元方程y-f(x)＝0。函数问题(例如求反函数，求函数的值域等)可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点。

函数与不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y>0时，就转化为不等式f(x)>0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式。

数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要。

解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论。

实际问题与数学

应用能力是上海卷必考的内容，但每年考查的侧重面略有差异。07年考的是18题增长率的问题。08年春考几何问题。

数学建模的关键是将实际问题转化为数学问题，常见的规律：(1)最值问题—可建立函数模型。(2)相等和不等问——可建立方程和不等式。(3)细胞分裂、存贷款问题、增长率问题——可建立数列模型。(4)曲线问题——可建坐标系用解析几何。(5)水桶，水渠，大坝——可考虑立体几何模型。(6)涉及角的问题——可建立三角函数模型。(7)计数问题：可用排列与组合模型。

作者： □育才中学尹德好

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